수학(數學) - 결합사건(結合事件)과 곱사건(倍事件)

수학 비전공자로서 수학공부를 함에 있어서 혼동이 생기는 것을 서술하는 바입니다.

수학(數學): 결합사건(結合事件)과 곱사건(倍事件)

/// 결합사건(結合事件)와 곱사건(倍事件)의 개념

결합사건(結合事件): 근원사건이 둘 이상 결합된 사건
곱사건(倍事件): 둘 이상의 사건이 동시에 일어나는 사건(집합의 교집합에 해당)
(정의에 문제가 있는지 확인부탁드립니다. 교사건이라고해야 혼동이 되지 않을 듯 싶습니다.)

조건부확률을 계산할 경우, 결합사건에서 발생하는 조건부확률과 단일사건에서 발생하는 조건부확률이 같이 계산(혼용)되어질 수 있는지에 대한 의문입니다.

다음은 예시입니다.

독립시행(복원추출, 한번시행)                              종속시행(비복원추출-사용한 수는 제거, 한번시행)
                                                                                     (A사건이 일어나고 B사건(조건부확률)이 발생)
사건 B의 확률(A사건에 의해 변하지 않음)          사건 B의 확률 P(B|A)는 사건 A에 따라 변함

표본공간: 1, 2, 3                                                       표본공간: 1, 2, 3

사건 A: '1', '2' 가 일어날 사건                                사건 A: '1', '2' 가 일어날 사건
사건 B: '3' 이 일어날 사건                                     사건 B: '3' 이 일어날 사건

// 단일사건(A와 B)
P(A) = 2/3                                                                 P(A) = 2/3 혹은 P(Ac) = 1/3
P(B) = 1/3 (변하지 않음)                                       P(B) = ???
P(B∩A) = 0
P(B|A) = P(B∩A) / P(A) = 0

이 경우, 단일사건에서 조건부확률(P(B|A))은 0 입니다.                 ←----- 독립이냐 종속이냐를 판가름하지 않음


// 결합사건
P(A, B) = P(A) X P(B)                                              P(A, B) = P(A) X P(B|A)           ←----- 독립이냐 종속이냐를 판가름
2/9 = 2/3 X 1/3                                                       = ???
                                                                                 이 예시의 경우 조건부확률 P(B|A)는 ???입니다.

결합사건의 표본공간(독립시행)                       결합사건의 표본공간(종속시행)
(1, 1), (1, 2), (1, 3)                                                   (???)
(2, 1), (2, 2), (2, 3)                                                   (???)
(3, 1), (3, 2), (3, 3)                                                   (???)

중요한점은, 예시의 경우에 단일사건에서 사건 A와 B는 배반사건이기 때문에 곱집합(집합의 교집합)이 존재하지 않지만, 결합사건과 단일사건에 P(A) X P(B)가 존재하고 있습니다. 그런데 어찌하여 P(A∩B) = P(A) X P(B)라는 공식이 성립해야하는지 의문이 생깁니다. 성립하지 않아도 독립시행임에는 변함이 없습니다.

독립시행이냐 종속시행이냐를 P(A, B) = P(A) X P(B), P(A, B) = P(A) X P(B|A)로 판단하는 것은 결합사건(근원사건의 결합)일 경우, 종속시행에서는 반드시 A의 사건이 일어나고 변화된 상황에서 사건 B가 P(B|A)로 발생되어야 되기 때문이라고 생각합니다. 단일 사건에서 곱사건(집합의 교집합)에 의한 조건부 확률에 적용해서는 안될 것으로 판단됩니다.

결론: 독립시행인지 종속시행인지를 판가름하는 P(A, B) = P(A) X P(B)는 결합사건일 경우에서 두 사건의 확률의 곱을 의미하는 것이고, 단일사건에서의 사건 A와 B의 곱사건(집합의 교집합)의 확률과는 연관성이 없는것처럼 사려 되어집니다.



참고: 단일사건에서 P(B∩A) = P(A) X P(B) 이라는 공식이 적용되는 것이 독립사건이고 아닌것이 종속사건이라고 하는것은 이해할 수 없으며, 어떠한 의미가 있는지 알 수가 없습니다. 계산해보시면 아시겠지만, 독립과 종속의 개념이 들어 있는 것이 아니라, 단순히 경우의 수에 대한 확률이 P(B∩A) = P(A) X P(B) 에 만족되어지는 것과 아닌 것의 차이가 아닐까 생각합니다. 개념이 있고 공식이 있는것이지, 공식이 있고 개념이 있는것은 본말이 전도된것이 아닐지 생각해 볼 문제입니다. (위에서도 언급했지만, 결합사건에서 A사건이 발생하였을 경우 사건 B의 확률이 P(B)로 변하지 않으면 독립이라고 생각합니다.)

다음은 예시입니다. (단일사건에서의 조건부확률)

표본공간: 1, 2, 3, 4(아무 의미 없음)
사건 A: '1', '2' 가 일어날 사건(아무 의미 없음)
사건 B: '2', '3' 이 일어날 사건(아무 의미 없음)

P(A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(B∩A) = 1/4
P(B|A) = P(B∩A) / P(A) = 1/2 = P(B)
P(A) X P(B) = 1/4 = P(B∩A)

P(B∩A) = P(A) X P(B) 를 만족합니다.

일반화하여 다음과 같은 경우는 전부 P(B∩A) = P(A) X P(B)를 만족합니다.
(그렇지만 그것이 '독립'이라는 개념과 무슨상관이 있는지는 이해할 수 없습니다.)

n(α), n(β)는 원소의 개수가 같다고 표현하기 위해 사용한 것이고, 당연히 원소는 달라야 합니다.

                                                                           ※ 집합의 다른 분야에서 의미있게 사용될 수 있을까요?
P(A) = 1/2
P(B) = n(β) / { n(α) + n(β) }
P(B∩A) = n(β) / 2{ n(α) + n(β) }
P(B|A) = P(B∩A) / P(A) = n(β) / { n(α) + n(β) } = P(B)
P(A) X P(B) = n(β) / 2{ n(α) + n(β) } = P(B∩A)